Question

2．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D，E分别为AC₁和BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若F为AB中点，求三棱锥F-C₁DE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点G，连接BG和DG，推导出BEDG是平行四边形，从而DE∥BG，由此能求出DE∥平面ABC．
（Ⅱ）三棱锥F-C₁DE的体积：${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接BG和DG，
因为D和G分别为AC₁和AC的中点，所以DG∥CC₁，且DG=BE，
则BEDG是平行四边形，DE∥BG，
又DE不在平面ABC内，BG在平面ABC内，
所以DE∥平面ABC．…（6分）
解：（Ⅱ）因为D为AC₁的中点，所以${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$，
又F为AB中点，所以${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$，…（8分）
则三棱锥F-C₁DE的体积：
${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{8}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．