Question

3．已知抛物线E：y²=2px（P＞0）的准线为x=-1，M，N为直线x=-2上的两点，M，N两点的纵坐标之积为-8，P为抛物线上一动点，PN，PM，分别交抛物线于A，B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2））问直线AB是否过定点，若过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由-$\frac{p}{2}$=-1得p=2，即可求抛物线E的方程；
（2）设P（x₀，y₀）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB方程为x=ny+m．联立抛物线方程得y²-4ny-4m=0，则y₁y₂=-4m，求出M，N的纵坐标，利用条件，即可得出直线AB是否过定点．

解答 解：（1）由-$\frac{p}{2}$=-1得p=2，
故抛物线方程y²=4x..…（4分）
（2）设P（x₀，y₀）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB方程为x=ny+m．
联立抛物线方程得y²-4ny-4m=0，则y₁y₂=-4m..…（6分）
由直线PA的斜率$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，
则直线PA的方程：y-y₀=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即直线PA的方程：4x-（y₁+y₀）y+y₁y₀=0，
令x=-2，得y_M=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，同理y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$..…（8分）

y_My_N=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$•y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=-8，
整理得（y₁y₂+8）（y₀²+8）=0．
则y₁y₂=-8，即-4m=-8，∴m=2．
故直线PA的方程：x=ny+2，即直线AB过定点（2，0）..…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．