题目内容
数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）对于?n∈N*不等式
+
+
+…+
＜m恒成立，求m取值范围．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）对于?n∈N*不等式
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
考点：数列的求和,数列与不等式的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件得到an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，从而推导出数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，由此求出数列{an}的通项公式为an=2n．进而能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由已知条件利用裂项求和法求出Tn=5-
，从而得到{Tn}是单调递增的数列．Tn＜5，再由对于?n∈N*不等式
+
+
+…+
＜m恒成立，能求出m的取值范围．
（2）由已知条件利用裂项求和法求出Tn=5-
| 3n+5 |
| 2n |
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
解答：
解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，
得an=2an-1，又a1=S1=2a1-2，∴a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．
b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，
得（2+2d）2=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3．
∴数列{bn}的通项公式为bn=3n-1．…（6分）
（2）令Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
，
2Tn=2+
+
+…+
，
两式相减得Tn=2+
+
+…+
-
，
∴Tn=2+
-
=5-
，
∴Tn+1-Tn=5-
-(5-
)=
＞0
∴{Tn}是单调递增的数列．Tn＜5，
∵对于?n∈N*不等式
+
+
+…+
＜m恒成立，
∴m的取值范围是{m|m≥5}．…（13分）
得an=2an-1，又a1=S1=2a1-2，∴a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．
b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，
得（2+2d）2=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3．
∴数列{bn}的通项公式为bn=3n-1．…（6分）
（2）令Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
=
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 8 |
| 23 |
| 3n-1 |
| 2n |
2Tn=2+
| 5 |
| 2 |
| 8 |
| 22 |
| 3n-1 |
| 2n-1 |
两式相减得Tn=2+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 2n |
∴Tn=2+
| ||||
1-
|
| 3n-1 |
| 2n |
=5-
| 3n+5 |
| 2n |
∴Tn+1-Tn=5-
| 3n+8 |
| 2n+1 |
| 3n+5 |
| 2n |
| 3n+2 |
| 2n+1 |
∴{Tn}是单调递增的数列．Tn＜5，
∵对于?n∈N*不等式
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| b3 |
| a3 |
| bn |
| an |
∴m的取值范围是{m|m≥5}．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
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阅读程序框图（如图），如果输出的函数值在区间[
，1]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
| 1 |
| 4 |
| A、（-∞，-2] |
| B、[-2，0] |
| C、[0，2] |
| D、[2，+∞） |
阅读如图程序框图，输出的结果s的值为（ ）
| A、0 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、-
|