Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，sinx），

c

=（-1，0）．
（Ⅰ）若x=

π

3

，求向量

a

，

c

的夹角；
（Ⅱ）求函数f（x）=2

a

•

b

+1的最值以及相应的x值的集合．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）把x=

π

3

代入可得向量

a

=（

3

2

，

1

2

），由向量的夹角公式可得；
（Ⅱ）由三角函数公式f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+2，由三角函数的最值可得．

解答： 解：（Ⅰ）当x=

π

3

时，向量

a

=（sin

π

3

，cos

π

3

）=（

3

2

，

1

2

），
又∵

c

=（-1，0），∴

a

•

c

=-

3

2

，|

a

|=|

c

|=1
∴cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a || c |

=-

3

2

∴向量

a

，

c

的夹角为

5π

6

；
（Ⅱ）由题意可得函数f（x）=2

a

•

b

+1
=2sin²x+2sinxcosx+1
=1-cos2x+sin2x+1
=

2

sin（2x-

π

4

）+2，
∴当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

，k∈Z时，
函数f（x）取最大值

2

+2，此时x的集合为{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}；
当2x-

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

8

，k∈Z时，
函数f（x）取最大值-

2

+2，此时x的集合为{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及向量的夹角和三角函数的运算，属基础题．