Question

已知函数f（x）=log_n+1x（n＞0），且 g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）是奇函数．
（1）求实数n的值；
（2）求g（x）图象与直线y=-2，x=1围成的封闭图形的面积S；
（3）对于任意a，b，c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a），f（b），f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试求M的最小值．

Answer 1

考点：分析法和综合法,函数图象的作法,函数奇偶性的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得g（x）=x+log_n+1（

x+2

n-x

）为奇函数，由f（0）=0，解得n的值．
（2）由（1）可得g（x）是增函数，定义域为[-1，1]，g（x）图象与直线y=-2，x=1围成的封闭图形为矩形ACBD．再根据g（x）的图象平分矩形ACBD的面积．可得所求的面积为S．
（3）由题意可得b+c＞a，f（b）+f（c）＞f（a），可得 bc＞a．由于log₃c＞0，得c＞1，经过检验，当0＜M≤1不满足题意．再根据当1＜M＜2时，经过检验也不满足题意，可得M的最小值为2．

解答： 解：（1）由题意可得g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）
=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
=x+log_n+1（

x+2

n-x

）为奇函数，
故有f（0）=0+log_n+1（

0+2

n-0

）=0，解得n=2．
（2）由（1）可得g（x）=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
是增函数，定义域为[-1，1]，
g（x）图象与直线y=-2，x=1围成的封闭图形为矩形ACBD，
A（-1，-2），B（1，2）．
再根据曲线的对称性可得，函数g（x）的图象平分矩形ACBD的面积．
故所求的面积为S=

1

2

[（1-（-1）]×4=4．
（3）由题意可得b+c＞a，由于f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边，
故有f（b）+f（c）＞f（a），即log₃b+log₃c＞log₃a，即 bc＞a．
由于log₃c＞0，∴c＞1，故0＜M≤1不满足题意．
再根据当1＜M＜2时，取b=c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，满足条件；
但此时 log₃M+log₃M=2log₃M=log3M2，即f（b）+f（c）=f（a），
f（a），f（b），f（c）不能作为某个三角形的三边．
综上可得，M的最小值为2．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数的运算性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．