Question

已知函数f（x）=ax+xlnx．
（1）当a=1时，函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，解不等式f（x）＜0；
（3）当a=1时，对x∈（1，+∞），直线y=k（x-1）恒在函数y=f（x）的图象下方．求整数k的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）解对数不等式求得即可；
（3）由题意得问题等价于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立，令g（x）=

x+xlnx

x-1

，利用导数求得函数的最小值即可得出结论．

解答： 解：（1），当a=1时．f（x）=x+xlnx．∴f′（x）=2+lnx，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1…（2分）
（2）∵f（x）=ax+xlnx，又函数的定义域为（0，+∞），
∴f（x）＜0?a+lnx＜0，∴x∈（0，e^-a）…（4分）
（3）由a=1时，对x∈（1，+∞）时，直线y=k（x-1）恒在函数y=f（x）的图象下方得，
问题等价于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立．…（5分）
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，∴g′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，
令h（x）=x-2-lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0
所以存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0．
则x∈（1，x₀）时，h（x）＜0；x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，
即x∈（1，x₀）时，g'（x）＜0；x∈（x₀，+∞）时，g'（x）＞0
知g（x）在（1，x₀）递减，（x₀，+∞）递增…（10分）
又g（x₀）＜g（3）=

3

2

(ln3+1)＜g（4）=2+2ln4，所以k_max=3．  …（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数切线方程、单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．