Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an

2n

，求证：数列{c_n}为等差数列，并求{c_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前5项和S₅．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂．由S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n，化为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

，即可证明．
（3）由（2）可得an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．分别取n=3，4，5即可得出．

解答： （1）解：当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），
化为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1．
b₁=a₂-2a₁=3．
∴数列{b_n}是等比数列，b_n=3•2^n-1．
（2）证明：c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

，
∴数列{c_n}为等差数列，c₁=

a1

2

=

1

2

．
∴c_n=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3n-1

4

．
（3）解：由（2）可得an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
∴a₁=1，a₂=5，a₃=16，a₄=44，a₅=112．
∴S₅=1+5+16+44+112=178．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．