Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为2

10

，又椭圆的离心率为

15

5

，则椭圆的标准方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由离心率

15

5

求得a和c的关系，进而根据c²=a²-b²求得a和b的关系，进而根据

1

2

×2a×2b=2

10

求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答： 解：由e=

c

a

=

15

5

，得3a²=5c²．
再由c²=a²-b²，解得a=

5 2

2

b．
由题意可知

1

2

×2a×2b=2

10

，即ab=

10

．
解方程得a=

10

，b²=

2

5

．
所以椭圆的方程为

x2

10

+

5 y2

2

=1．
故答案为：

x2

10

+

5 y2

2

=1

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、考查计算能力．