Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为D₁C₁的中点，N为BC的中点．
（1）求证EN⊥A₁C₁
（2）求异面直线A₁C₁与ED所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（1）连结AC、BD，交点为O，连结，OD₁，ON，易证AC⊥平面D₁DO，即可证得EN⊥A₁C₁．
（2）取DC的中点F，连结A₁F，C₁F，则∠A₁C₁F就是异面直线A₁C₁与ED所成角，解三角形用余弦定理求得即可．

解答： （1）证明：连结AC、BD，交点为O，连结，OD₁，ON，则
D1E

∥

.

ON，∴四边形D₁ONE是平行四边形，∴D₁O∥EN，
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面D₁DO，
∵D₁O?平面D₁DO，∴AC⊥D₁O，
∵A₁C₁∥AC，D₁O∥EN，
∴EN⊥A₁C₁．
（2）解：取DC的中点F，连结A₁F，C₁F，
∵EC1

∥

.

DF，∴四边形EDFC₁是平行四边形，∴ED∥C₁F，
∴∠A₁C₁F就是异面直线A₁C₁与ED所成角．
设正方体的棱长为2，则A1C1=2

2

，C1F=

5

，A₁F=3，
∴cos∠A₁C₁F=

(2 2 )2+( 5 )2-32

2×2 2 × 5

=

8+5-9

4 10

=

10

10

．
∴异面直线A₁C₁与ED所成角的余弦值是

10

10

．

点评：本题主要考查空间中的线面关系的证明及异面直线所成角的求法等知识，考查学生线面垂直定理及平移法作异面直线所成角以及余弦定理的应用，属于中档题．