Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁． 
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面ADA₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）线面垂直的判定定理即可证明．

解答： （本小题共13分）
证明：
（Ⅰ）连结B₁C，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
由ABCD为平行四边形得CD∥AB且CD=AB
∴A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD------------------（2分）
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，A₁D∥B₁C---------（4分）
∵B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁-----------（6分）
∴A₁D∥平面BCC₁B₁------------------（7分）
（Ⅱ）∵平行四边形ABCD中，AC⊥BC，
∴AC⊥AD------------------（2分）
∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴AA₁⊥AC------------------（4分）
又∵AD∩AA₁=A，AA₁?平面ADA₁，AD?平面ADA₁，
∴AC⊥平面ADA₁．------------------（6分）

点评：本题考查线面平行与线面垂直的判定．