Question

已知定圆A：（x+1）²+y²=8的圆心为A，动圆M过点B（1，0），且于圆A相切，动圆的圆心M的轨迹的方程为C，
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线l过点（0，t）且与曲线C交于P，Q两点，探究：是否存在实数t，使得点N（0，-1）在以PQ为直径的圆上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依据条件判断定圆和动圆相内切，再依据椭圆的定义写出曲线C的方程；
（2）假设存在实数t，使得点N（0，-1）在以PQ为直径的圆上，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到二次方程，运用韦达定理，判别式大于0，再由直径所对的圆周角为直角，运用直线垂直的条件，化简整理，得到t的方程，解出即可判断．

解答： 解：（1）圆A的圆心为A（-1，0），半径r₁=2

2

，
设动圆M的圆心M（x，y），半径为r₂，依题意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=2

2

，
所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由2a=2

2

，2c=2，可得a²=2，b²=1．
故曲线C的方程为

x2

2

+y²=1；
（2）假设存在实数t，使得点N（0，-1）在以PQ为直径的圆上．
则由直线l过点（0，t），即有l：y=kx+t，联立椭圆方程x²+2y²=2，
消去y，得，（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则有△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，
x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，
由于点N（0，-1）在以PQ为直径的圆上，则NP⊥NQ，
即有

y1+1

x1

•

y2+1

x2

=-1，即x₁x₂+（kx₁+1+t）（kx₂+1+t）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+k（1+t）（x₁+x₂）+（1+t）²=0，
即有（1+k²）•

2t2-2

1+2k2

+k（t+1）•

-4kt

1+2k2

+（1+t）²=0，
化简整理，可得3t²+2t-1=0，解得，t=-1，或t=

1

3

，
当t=-1时，则直线恒过（0，-1），N与P，Q中某一点重合，只要k≠0，即可；
当t=

1

3

时，检验判别式大于0成立，
则存在实数t，使得点N（0，-1）在以PQ为直径的圆上，
且t=-1，或t=

1

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查圆与圆的位置关系，直线方程和椭圆方程联立消去未知数，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．