Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，过焦点F（c，0）和点B（0，-b）的直线到原点的距离是

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在非零实数k，使直线y=kx+2交椭圆于不同的两点M、N都在以B为圆心的圆上，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）过焦点F（c，0）和点B（0，-b）的直线y=

b

c

x-b到原点的距离是

3

2

．可得

|-b|

( b c )2+1

=

3

2

，化为

3

a=2bc，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，联立解得即可．
（2）存在非零实数k，使直线y=kx+2交椭圆于不同的两点M、N都在以B为圆心的圆上．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀）．把直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k²）x²+16kx+12=0．△＞0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得x₀，y₀．k_BP．由于两点M、N都在以B为圆心的圆上，可得BP⊥MN．k_BP•k_MN=-1，解出即可．

解答： 解：（1）∵过焦点F（c，0）和点B（0，-b）的直线y=

b

c

x-b到原点的距离是

3

2

．
∴

|-b|

( b c )2+1

=

3

2

，化为

3

a=2bc，
又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）存在非零实数k，使直线y=kx+2交椭圆于不同的两点M、N都在以B为圆心的圆上．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀）．
联立

y=kx+2 x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+16kx+12=0．
△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，化为k2＞

3

4

．
∴x₁+x₂=

-16k

1+4k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

-8k

1+4k2

，y₀=kx₀+2=

2

1+4k2

．
k_BP=

y0+1

x0

=

3+4k2

-8k

．
∵两点M、N都在以B为圆心的圆上，
∴BP⊥MN．
∴k•

3+4k2

-8k

=-1．
化为4k²=5，
解得k=±

5

2

，满足△＞0．
∴k=±

5

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．