Question

若曲线f（x）=x^-2在点（a，a^-2）（a＞0）处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则log

3

2

a=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出函数f（x）=x^-2在点（a，a^-2）处的导数，由直线方程的点斜式求得切线方程，得到切线在两坐标轴上的截距，由面积公式求得切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，再由三角形面积等于3求得a的值，代入
log

3

2

a由对数的运算性质得答案．

解答： 解：由f（x）=x^-2，得f′（x）=-2x^-3，
∴f′（a）=-2a^-3，
则曲线f（x）=x^-2在点（a，a^-2）处的切线方程为：y-a^-2=-2a^-3（x-a）．
取y=0，得x=

3a

2

，
取x=0，得y=

3

a2

，
∴切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

•

3a

2

•

3

a2

=3．
解得：a=

3

4

．
∴log

3

2

a=log

3

2

3

4

=log

3

2

(

3

2

)2=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了三角形面积的求法，考查了对数的运算性质，是中档题．