Question

14．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），a≥0．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数f（x）的导数，令g（x）=2ax²+ax+1-a=2a（x+$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{9a}{8}$，通过a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域是（-1，+∞），
a=1时，f（x）=ln（x+1）+x²-x，
f′（x）=$\frac{x（2x+1）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{1}{2}$，
得：f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递增，在（-$\frac{1}{2}$，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得极大值f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$-ln2，
x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0；
（2）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+ax+1-a}{x+1}$，
令g（x）=2ax²+ax+1-a=2a（x+$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{9a}{8}$，
①若1-$\frac{9a}{8}$≥0，即0≤a≤$\frac{8}{9}$，则g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
从而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，
而f（0）=0，∴0≤a≤$\frac{8}{9}$符合题意；
②若1-$\frac{9a}{8}$＜0，即a＞$\frac{8}{9}$，
由于g（-1）=1＞0，g（1）=2a+1＞0，
则g（x）在（-1，+∞）有2个零点，
从而函数f（x）在（-1，+∞）上有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜-$\frac{1}{4}$＜x₂，
（i）当$\frac{8}{9}$≤a≤1时，∵g（0）≥0，可知x≥0时，f′（x）≥0恒成立，
x＞0时，f（x）＞f（0）=0成立，
（ii）a＞1时，g（0）＜0，可知f（x）在（0，x₂）递减，
∵f（0）=0，故不能满足题意，
综上 a∈[0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．