Question

19．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100～110的学生数有21人．
（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n；
（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占$\frac{1}{3}$）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．

数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\;\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值；
（Ⅱ）由题意用列举法计算基本事件数，求所求的概率值；
（Ⅲ）求平均数和回归系数，写出线性回归方程，利用方程求x=130时$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为
P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，…（1分）
 所以该班总人数为$N=\frac{21}{0.35}=60$；…（2分）
分数在110～115内的学生的频率为
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，…（3分）
分数在110～115内的学生的人数为n=60×0.1=6；…（4分）
（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，
设男生为A₁，A₂，A₃，A₄，女生为B₁，B₂，
从6名学生中选出2人的基本事件为
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共15个；…（6分）
其中恰好含有一名女生的基本事件为
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），共8个；…（7分）
所以所求的概率为$P=\frac{8}{15}$；…（8分）
（Ⅲ）计算$\overline x=100+\frac{-12-17+17-8+8+0+12}{7}=100$，
$\overline y=100+\frac{-6-9+8-4+4+1+6}{7}=100$，…（9分）
由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
$\hat b=\frac{497}{994}=0.5，\hat a=100-0.5×100=50$；…（10分）
所以线性回归方程为$\hat y=0.5\hat x+50$；…（11分）
当x=130时，计算$\hat y=115$，
所以估计他的物理成绩大约是115分． …（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是综合题．