Question

9．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P
（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；
（Ⅱ）证明：AE⊥面ECD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点G，连结EG，PG，推导出四边形EFPG为平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．
（Ⅱ）取AD中点M，连结EM，MC，推导出四边形EFAM为平行四边形，从而EM∥FA，进而EM⊥平面ABCD，CD⊥平面EFAD，由此能证明AE⊥平面ECD．

解答 证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG，PG，
∵点P为矩形ABCD对角线交点，
∴在△ACD中，PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
又EF=1，AD=2，EF∥AD，
∴EF$\underset{∥}{=}$PG，∴四边形EFPG为平行四边形，
∴FP∥EG，
又FP?平面ECD，EG?平面ECD，
∴FP∥平面ECD．
（Ⅱ）取AD中点M，连结EM，MC，∴EF=AM=1，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴四边形EFAM为平行四边形，∴EM∥FA，
又FA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，
又MC²=MD²+CD²=2，EM²=1，
∴EC²=MC²+EM²=3，
又AE²=2，AC²=AB²+BC²=1+4=5，
∴AC²=AE²+EC²，∴AE⊥EC，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面EFAD，
∴CD⊥AE，又EC∩ED=D，
∴AE⊥平面ECD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．