Question

17．已知点Q是圆M：（x+1）²+y²=64上的动点（圆心为M）上的动点，点N（1，0），线段QN的中垂线交MQ于点P．
（1）若点P的轨迹是E，求E的轨迹方程；
（2）是否存在直线l，使原点到直线l的距离为1，并且以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点？如存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线性质得出|PQ|=|PN|；再分析出|PM|+|PN|为定值，则知点P的轨迹为椭，最后根据椭圆的标准方程写出答案
（2）设直线y=kx+m，因为原点到直线l的距离为1，所以$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，所以m²=k²+1．代入曲线C，消去y并整理，由AB为直径的圆过原点O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，可知M（-1，0），|MQ|=8，
因为点P在线段NQ的垂直平分线上，所以|PQ|=|PN|
又|PM|+|PQ|=|MQ|=8，所以|PM|+|PN|=8（8＞2），
那么点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中a=4，c=1，
则b²=a²-c²=15，
所以点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（2）设直线y=kx+m，
因为原点到直线l的距离为1，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，所以m²=k²+1．
代入曲线C，消去y并整理得（16k²+15）x²+32kmx+16m²-240=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{32km}{16{k}^{2}+15}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$．
由AB为直径的圆过原点O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$+km•（-$\frac{32km}{16{k}^{2}+15}$）+m²=$\frac{-225{k}^{2}+15}{16{k}^{2}+15}$，
于是x₁x₂+y₁y₂=$\frac{16{m}^{2}-240}{16{k}^{2}+15}$+$\frac{-225{k}^{2}+15}{16{k}^{2}+15}$=0，得k=±1．满足题意

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．