Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），数列b_n=1-a_n²（n∈N^*），数列c_n=a_n+1²-a_n²，（n∈N^*）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义，即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求出求数列{c_n}的通项公式．

解答： 解：（1）证明：由已知a_n≠±1，b_n≠0，
b₁=

3

4

，由a₁=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），
得3（1-

a

2 n+1

）=2（1-a_n²），
即

bn+1

bn

=

1- a 2 n+1

1- a 2 n

=

2

3

，
则数列{b_n}是等比数列，公比q=

2

3

，首项b₁=

3

4

．
（2）∵数列{b_n}是等比数列，公比q=

2

3

，首项b₁=

3

4

，
∴数列b_n=

3

4

(

2

3

)n-1，
a_n²=1-b_n=1-

3

4

•(

2

3

)n-1，
c_n=a_n+1²-a_n²=1-

3

4

•(

2

3

)n-（1-

3

4

•(

2

3

)n-1）=

1

4

(

2

3

)n-1．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的判断，考查学生的计算能力．