Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＞0，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据当x＞0时，f′（x）＞0，得到f（x）在（0，+∞）上为增函数，然后，借助于偶函数的性质，得到f（|lgx|）＞f（1），即得|lgx|＞1，从而解得相应的x的取值范围．

解答： 解：∵当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（lgx）＞f（1），等价于
f（|lgx|）＞f（1），
∴|lgx|＞1，
∴lgx＜-1或lgx＞1，
∴0＜x＜

1

10

或x＞10，
∴x的取值范围为（0，

1

10

）∪（10，+∞）．
故答案为：（0，

1

10

）∪（10，+∞）．

点评：本题重点考查了偶函数性质、增函数的性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识，属于中档题．