Question

16．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=$\sqrt{2}$，C与抛物线y²=16x的准线交于A，B点，|AB|=4$\sqrt{3}$，则C的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4 $\sqrt{3}$，即可求得结论．

解答 解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=$\sqrt{2}$，
设等轴双曲线C的方程为x²-y²=λ．（1）
∵抛物线y²=16x，2p=16，p=8，∴$\frac{P}{2}$=4．
∴抛物线的准线方程为x=-4．
C与抛物线y²=16x的准线交于A，B点，|AB|=4$\sqrt{3}$，
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A（-4，2$\sqrt{3}$），B（-4，-2$\sqrt{3}$），
代入（1），得（-4）²-（2$\sqrt{3}$）²=λ，∴λ=4．
∴等轴双曲线C的方程为x²-y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴C的实轴长为4．
故选：C．

点评 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．