Question

11．已知圆x²+y²-4x-4y+4=0的弦AB过点（1，1），则AB的最短长度为（　　）

• A． 1
• B． 2$\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把圆方程化为标准方程，找出圆心M坐标与半径r，当MC⊥AB时，AB的长最短，如图所示，连接AM，根据M与C坐标求出直线MC的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，进而确定出直线AB的解析式，与圆方程联立求出A与B的坐标，进而求出AB的长，即为最短长度．

解答 解：将圆方程化为标准方程为：（x-2）²+（y-2）²=4，即圆心M（2，2），半径r=2，
当MC⊥AB时，AB的长最短，如图所示，连接AM，
∵C（1，1），M（2，2），即直线CM斜率为$\frac{2-1}{2-1}$=1，
∴直线AB斜率为-1，
∴直线AB方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
与圆方程联立得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-4y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即A（0，2），B（2，0），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的斜率，两直线垂直时斜率满足的关系，勾股定理，以及直线圆相交的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．