Question

7．下列若干命题中，正确命题的序号是①③④．
①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a-1）y-a+7=0平行的充分不必要条件；
②△ABC中，若acosA=bcosB，则该三角形形状为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④函数y=sinxcosx的最小正周期是π

Answer 1

分析 由两直线平行的条件列式求出a值判断①；由已知等式化边为角，判断出三角形形状判断②；由投影概念结合异面直线所成的角判断③；利用倍角公式化积后求出周期判断④．

解答 解：对于①，由$\left\{\begin{array}{l}{a（a-1）-6=0}\\{a（7-a）-6a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-2或a=3，∴“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a-1）y-a+7=0平行的充分不必要条件，故①正确；
对于②，△ABC中，若acosA=bcosB，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，
∴$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{1}{2}$sin2B，则sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，则△ABC为等腰或直角三角形，故②错误；
对于③，两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线，③正确，如正四面体P-ABC中，PA与BC是异面直线，它们在底面ABC上的投影是两条互相垂直的直线；
对于④，函数y=sinxcosx=$\frac{1}{2}sin2x$，最小正周期是π，故④正确．
∴正确命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了两直线平行的条件，训练了三角形形状的判断，考查空间想象能力，是基础题．