Question

1．设f（x）=alnx-x+4，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在$x∈[{\frac{1}{2}，4}]$的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的值；
（2）求出函数的导数，求得单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到所求的最值．

解答 解：（1）f（x）=alnx-x+4的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
则在点（1，f（1））处的切线的斜率为a-1，
切线垂直于y轴，可得a-1=0，解得a=1；
（2）f（x）=lnx-x+4的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）=0，可得x=1，
由x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减；
由0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得x=1处取得极大值，也为最大值，且为3；
由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$-ln2，f（4）=ln4，f（4）＜f（$\frac{1}{2}$），
可得f（4）为最小值，且为ln4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于基础题．