Question

已知函数f（x）=（ax²+x+a）e^-x
（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x-y+1=0平行，求a的值；
（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e^-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到a；
（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e^-4恒成立，即有当x∈[0，4]时，f（x）_min≥e^-4．求出导数，讨论①当a≥0时，②当a＜0时，当a≤-1，当-1＜a＜0时，当-1＜a＜0时，运用单调性，求出f（x）最小值即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=（ax²+x+a）e^-x
导数f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²），
则在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=1+a，
f（0）=a，由于切线与直线3x-y+1=0平行，
则有1+a=3，a=2；
（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e^-4恒成立，即有
当x∈[0，4]时，f（x）_min≥e^-4．
由于f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²）=（x+1）（ax+1+a）e^-x，
①当a≥0时，x∈[0，4]，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[0，4]递增，
f（x）_min=f（0）=a≥e^-4；
②当a＜0时，f′（x）=a（x+1）（x+1+

1

a

）•e^-x，
当a≤-1，-1≤

1

a

＜0，0≤1+

1

a

＜1，-1＜-（1+

1

a

）≤0，
x∈[0，4]，f′（x）≤0恒成立，f（x）递减，
f（x）_min=f（4）=（17a+4）•e^-4≥e^-4，17a+4≥1，a≥-

3

17

，与a≤-1矛盾，
当-1＜a＜0时，

1

a

＜-1，1+

1

a

＜0，-（1+

1

a

）＞0，
f（x）在[0，4]递增，或存在极大值，
f（x）_min在f（0）和f（4）中产生，则需f（0）=a≥e^-4，
且f（4）=（17a+4）•e^-4≥e^-4，
且-1＜a＜0，
推出a∈∅，
综上，a≥e^-4．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题．