Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P作与实轴平行的直线，交两渐近线于M，N两点，若

PM

•

PN

=3b²，则双曲线C的离心率为（　　）

• A、3
• B、

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  10

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线上的P（x₀，y₀），可得x₀²=a2+

a2

b2

y02．再利用数量积运算和离心率计算公式即可得出．

解答： 解：设双曲线上的P（x₀，y₀），则x₀=a2+

a2

b2

y02．
联立

y=y0 y= b a x

，解得x=

ay0

b

，取M（

ay0

b

，y₀）．
同理可得N（-

ay0

b

，y₀）．
∴

PM

•

PN

=a²．
∴a²=3b²．
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

2 3

3

．
故选C．

点评：本题考查了双曲线的标准方程、数量积运算和离心率计算公式，属于中档题．