Question

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-2，则不等式f（x）＞-1的解集为（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-2，0]∪（2，+∞）
• C、（-3，0）∪（1，+∞）
• D、（-3，0]∪（1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设x＜0，则-x＞0．由x∈（0，+∞）时，f（x）=x-2，可得f（-x）=-x-2，利用奇函数的性质可得f（x）=-f（x）=x+2．又f（0）=0．即可解出f（x）＞-1的解集．

解答： 解：设x＜0，则-x＞0．
∵x∈（0，+∞）时，f（x）=x-2，
∴f（-x）=-x-2，
∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（x）=-f（x）=x+2．
∴f（x）=

x-2，x＞0 0，x=0 x+2，x＜0

．
∴当x＞0时，不等式f（x）＞-1化为x-2＞-1，其解集为（1，+∞）．
同理可得：当x＜0时，不等式f（x）＞-1的解集为（-3，0）．
当x=0时，0＞-1成立．
综上可得：不等式f（x）＞-1的解集为（-3，0]∪（1，+∞）．
故选：D．

点评：本题考查了函数奇偶性、分类讨论的思想方法、不等式的解法，属于基础题．