Question

4．已知函数$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{3}}）+4\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求$f（{\frac{π}{3}}）$的值；
（Ⅱ）求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅲ）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{3}}]$上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）的解析式，将x=$\frac{π}{3}$带入解析式求值即可；
（Ⅱ）根据函数的解析式以及正弦函数的性质，得到$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，求出函数图象的对称轴即可；
（Ⅲ）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx}）+4\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$
=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{sin^2}x+4\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}=sin2x+2\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$
=$sin2x+2\sqrt{3}•\frac{1-cos2x}{2}-\sqrt{3}=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$
得$f（{\frac{π}{3}}）=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ） $f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx}）+4\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$
=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{sin^2}x+4\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}=sin2x+2\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$
=$sin2x+2\sqrt{3}•\frac{1-cos2x}{2}-\sqrt{3}=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，
得f（x）图象的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}\;，\;k∈Z$；
（Ⅱ）当$x∈[{-\frac{π}{4}\;，\;\frac{π}{3}}]$时，$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{5π}{6}\;，\;\frac{π}{3}}]$，
故得当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{π}{12}$时，f_min（x）=-2；
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{3}$时，${f_{max}}（x）=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数求值问题，考查正弦函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题．