Question

12．定义在R上的奇函数f（x）满足在（-∞，0）上为增函数且f（-1）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 根据题意，由函数f（x）的奇偶性和单调性，画出函数f（x）的草图，又由x•f（x）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，结合函数的图象分析可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数，
若f（-1）=0，得f（-1）=-f（1）=0，即f（1）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
对于不等式x•f（x）＞0，
有x•f（x）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
分析可得x＜-1或x＞1，
即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
故选：A．

点评 本题函数的奇偶性与单调性的应用，涉及不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，利用数形结合进行求解比较容易．