Question

8．已知直线l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0，抛物线C：y²=16x，P是C上一动点，则P到l₁与l₂距离之和的最小值为$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$..

Answer 1

分析 由抛物线方程求出其焦点坐标和准线方程，把抛物线y²=16x上的点P到两直线l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0的距离之和的最小值转化为焦点到l₁：x-y+5=0的距离，由点到直线的距离公式求解．

解答 解：由抛物线y²=16x，得其焦点F（4，0），准线方程为x=-4．
∴l₁：x=-4为抛物线的准线，
P到两直线l₁：x-y+5=0和l₂：x+4=0的距离之和，
即为P到F和l₁：x-y+5=0的距离之和．
最小值为F到l₁：x-y+5=0的距离d=$\frac{9}{\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．