Question

已知正三角形ABC的边长为2，D，E分别为边AB，AC上的点（不与△ABC的顶点重合）且DE∥BC，沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，得如图所示的四棱锥，设AD=x，则四棱锥A-BCED的体积V=f（x）的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,函数的图象与图象变化

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：列出四棱锥A-BCED的体积V=f（x）=

1

3

×（

3

-

3 x2

4

）×

3 x

2

=

1

2

x-

3

8

x³，0＜x＜2，根据导数求解判断．

解答： 解：正三角形ABC的边长为2，D，E分别为边AB，AC上的点（不与△ABC的顶点重合）且DE∥BC，沿DE折起，
使平面ADE⊥平面BCED，得如图所示的四棱锥，设AD=x，
∵正三角形ABC的边长为2，
∴三角形ABC的面积为

3

4

×4=

3

，
∴梯形BCED的面积：

3

-

x2

4

×

3

，
∵四棱锥A-BCED的高为

3

2

x，
∴四棱锥A-BCED的体积V=f（x）=

1

3

×（

3

-

3 x2

4

）×

3 x

2

=

1

2

x-

3

8

x³，0＜x＜2，
f′（x）=

1

2

-

9

8

x²，
∵f′（x）=

1

2

-

9

8

x²＞0，0＜x＜

2 3

3

，
f′（x）=

1

2

-

9

8

x²＜0

2 3

3

，

2 3

3

＜x＜2，
∴根据导数的几何意义可判断：B图正确．
故选：B．

点评：本题综合考察了空间几何体的性质，计算，几何导数，函数 综合性较大．