Question

设函数f（x）=

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2

x²+x-4
（1）当x∈[-2，2]时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求f（x）在区间[-2，t]（t＞-2）上的最小值g（t）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）易得f（x）在x∈[-2，-1]单调递减，在x∈[-1，2]单调递增，可得最值，可得答案；
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，只需2a＜-1＜a+1，解不等式可得；
（3）分类讨论：当-2＜t≤-1时，f（x）_min=f（t）=

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t²+t-4，当t＞-1时，f（x）_min=f（-1）=-

9

2

，综合可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x²+x-4=

1

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（x+1）²-

9

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，
其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=-1，
∴f（x）在x∈[-2，-1]单调递减，在x∈[-1，2]单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=-

9

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，f（x）_max=f（2）=0，
∴f（x）值域为：[-

9

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，0]；
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，
只需2a＜-1＜a+1，解得-2＜a＜-

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2

∴实数a的取值范围为（-2，-

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）；
（3）当-2＜t≤-1时，f（x）在[-2，t]上单调递减，
∴f（x）_min=f（t）=

1

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t²+t-4，
当t＞-1时，f（x）_min=f（-1）=-

9

2

，
∴g（t）=

1 2 t2+t-4，-2＜t≤-1 - 9 2 ，t＞-1

点评：本题考查二次函数的图象和性质，涉及函数的单调性和分类讨论的思想，属基础题．