Question

在下列结论中：
①函数y=sin（kπ-x）（k∈Z）为奇函数；
②函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是

π

2

；
③函数y=cos(2x+

π

3

)的图象的一条对称轴为x=-

2

3

π；
④函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上单调减区间是[-2π， -

5π

3

]∪[

2π

3

， 2π]．
其中正确结论的序号为

 

（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①对k分类讨论可得：函数y=sin（kπ-x）=（-1）^k+1sinx（k∈Z）为奇函数；
②利用倍角公式可得：函数y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，其最小正周期是π；
③由于f(-

2π

3

)=cos[2×(-

2π

3

)+

π

3

]=cos（-π）=-1，可知函数y=cos(2x+

π

3

)的图象的一条对称轴为x=-

2

3

π；
④由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+4kπ≤x≤4kπ+

7π

3

（k∈Z）．分别取k=-1，0即可得出函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上单调减区间．

解答： 解：①函数y=sin（kπ-x）=（-1）^k+1sinx（k∈Z）为奇函数，正确；
②函数y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，其最小正周期是π，因此不正确；
③∵f(-

2π

3

)=cos[2×(-

2π

3

)+

π

3

]=cos（-π）=-1，因此函数y=cos(2x+

π

3

)的图象的一条对称轴为x=-

2

3

π，正确；
④由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+4kπ≤x≤4kπ+

7π

3

（k∈Z）．当k=-1时，函数f（x）的单调递减区间为[-2π，-

5π

3

]；当k=0时，函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

，2π]，可得函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上单调减区间是[-2π，-

5π

3

]，[

π

3

，2π]．其次其单调区间不能用“∪”，因此不正确．
其中正确结论的序号为①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．