Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（α）=1，则cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意，可得A=2，图象过（$\frac{π}{3}$，-2）和（$\frac{7}{12}π$，0），可得周期T=4×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）$，从而求出ω．将坐标带入求出φ，根据f（α）=1，求出有关系α的关系式，求解出cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：由题意，可得A=2，图象过（$\frac{π}{3}$，-2）和（$\frac{7}{12}π$，0），可得周期T=4×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ）
将坐标（$\frac{π}{3}$，-2）带入，可得$\frac{2π}{3}$+φ=kπ$-\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{5π}{6}$
可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）
那么f（α）=2sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=1
sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
sin（2α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=cos（2α$+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
故选A．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．