Question

11．已知函数f（x）=sin（3x+3φ）-2sin（x+φ）cos（2x+2φ），其中|φ|＜π，若f（x）在区间$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上单调递减，则φ的最大值为$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 利用两角和与差将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据f（x）在区间$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上单调递减，可得φ的最大值．

解答 解：函数f（x）=sin（3x+3φ）-2sin（x+φ）cos（2x+2φ），其中|φ|＜π，
化简可得f（x）=sin[（2x+2φ）+（x+φ）]-2sin（x+φ）cos（2x+2φ）=sin（2x+2φ）cos（x+φ）-sin（x+φ）cos（2x+2φ）=sin（x+φ）
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+φ$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
可得：$\frac{π}{2}+2kπ$-φ≤x$≤\frac{3π}{2}+2kπ$-φ．
∵f（x）在区间$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上单调递减，
∴$\frac{π}{2}+2kπ$-φ$≤\frac{π}{6}$，且$\frac{3π}{2}+2kπ$-φ$≥\frac{2π}{3}$，
解得：2kπ≤φ$≤\frac{5π}{6}$，
|φ|＜π，
∴φ的最大值为$\frac{5π}{6}$．
故答案为$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用两角和与差的公式．属于中档题