Question

8．若关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，则整数k的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意可得，当x＞2时，x（1+lnx）＞k（x-2）恒成立，即k＜$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$恒成立．构造函数h（x）=$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$，利用两次求导得到函数最小值所在区间，则整数k的最大值可求．

解答 解：关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，
∴当x＞2时，x（1+lnx）＞k（x-2）恒成立，即k＜$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$恒成立．
令h（x）=$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$，h′（x）=$\frac{x-4-2lnx}{{（x-2）}^{2}}$，x＞2．
令φ（x）=x-4-2lnx，φ′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，∴φ（x）在（2，+∞）上单调递增，
∵φ（8）=4-2ln8＜0，φ（9）=5-2ln9＞0，
方程φ（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（8，9）．
则φ（x₀）=x₀-4-2lnx₀=0，即x₀-4=2lnx₀．
当x∈（8，x₀）时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x）＞0，h′（x）＞0．
故h（x）在（2，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
故h（x）的最小值为h（x₀）=$\frac{{x}_{0}•（1+l{nx}_{0}）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}}{2}-2）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$∈（4，$\frac{9}{2}$）．
∴整数k的最大值为4．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，解答该类问题的关键在于运用二次求导后的结论，属中档题．