Question

15．已知$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1+tanθ}=k（\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}）$，则$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值（　　）

• A． 随着k的增大而增大
• B． 随着k的增大而减小
• C． 是一个与k无关的常数
• D． 有时随k增大而增大，有时随k增大而减小

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变化可得函数k=sin2θ在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上为减函数，再利用正弦函数的单调性可得$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值随着k的增大而减小，从而得出结论．

解答 解：$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1+tanθ}=k（\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}）$，
=$\frac{2sinθ（cosθ+sinθ）}{1+tanθ}$
=sin2θ，
故函数k=sin2θ在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上为减函数，
则$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值随着k的增大而减小，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．