题目内容
3．若函数y=（a2-3a+3）•logax是对数函数，又函数$f（x）={log_2}（{b^x}-{a^x}）$中f（1）=1，（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最小值．
分析 （1）根据对数函数的定义得到关于a的方程，求出a的值，根据f（1）=1求出b的值即可；
（2）根据（1）求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的最小值即可．
解答 解：（1）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-3a+3=1\\ a＞0且a≠1\end{array}\right.$；
∴a=2，
又f（1）=1，
∴log2（b-2）=1，
∴b=4；
（2）$f（x）={log_2}（{4^x}-{2^x}）x∈[1，3]$
=${log_2}[{（{2^x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}]$，
令$u（x）={（{2^x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$由于x∈[1，3]，
∴2≤2x≤8，
∴u（x）在[1，3]上是增加的，
∴当x=1时$u{（x）_{min}}={（2-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}=2$，
∴f（x）min=log22=1．
点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
11．
已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$，x∈R）在一个周期的图象如图所示，当$f（x）=\frac{1}{2}$时，$cos（2x-\frac{π}{6}）$=（ ）
已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$，x∈R）在一个周期的图象如图所示，当$f（x）=\frac{1}{2}$时，$cos（2x-\frac{π}{6}）$=（ ）| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家离公园入口都是2公里，甲从10点钟出发前往乙同学家，如图所示是甲同学从自己家出发到乙家经过的路程y（公里）和时间x（分钟）的关系．根据图象，回答下列问题：
15．已知$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1+tanθ}=k（\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}）$，则$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值（ ）
| A． | 随着k的增大而增大 | |
| B． | 随着k的增大而减小 | |
| C． | 是一个与k无关的常数 | |
| D． | 有时随k增大而增大，有时随k增大而减小 |