Question

已知点M是⊙B：（x+2）²+y²=12上的动点，点A（2，0），线段AM的中垂线交直线MB于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与曲线C交于R，S两点，D（0，-1），且有|

RD

|=|

SD

|，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先根据点的图象中的位置关系确定点的轨迹是双曲线，进一步求出方程．
（2）根据（1）的结论，进一步建立直线和曲线的方程，利用|

RD

|=|

SD

|，进一步建立等量关系，利用直线的垂直求出参数的范围．

解答： （1）解：已知点M是⊙B：（x+2）²+y²=12上的动点，点A（2，0），线段AM的中垂线交直线MB于点P，
则：|PB|-|PA|=2

3

所以：点p的轨迹是以B、A为焦点的双曲线的左支．
由于|AB|=4
即：c=2
|PB|-|PA|=2

3

=2a
解得：a=

3

所以双曲线的方程为：

x2

3

-y2=1(x＜0)
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与曲线C交于R，S两点
则：

x2 3 -y2=1 y=kx+m

整理得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0（1-3k²≠0）
由于△＞0
解得：m²+1＞3k²①
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）RS的中点坐标为M（x₀，y₀）
所以x1+x2=

6km

1-3k2

，x1x2=

-3m2-3

1-3k2

x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

M（

3km

1-3k2

，

m

1-3k2

）
所以：kMD=

m+1-3k2

3km

|

RD

|=|

SD

|
k_MD•k_RS=-1
所以：k•

m+1-3k2

3km

=-1
解得：4m+1=3k²代入①得：m²+1＞4m+1
解得：m＞4或m＜0
由于3k²=4m+1＞0
所以m＞-

1

4

所以m的取值范围：-

1

4

＜m＜0或m＞4

点评：本题考查的知识要点；双曲线的定义和方程的确定，直线和双曲线的位置关系，中点坐标的应用一元二次方程根和系数的关系，直线垂直的充要条件，及参数的范围的确定．属于难题．