Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，椭圆C上一点到点Q（1，0）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B为椭圆上的两个动点，△ABO的面积为

3

，M为AB中点，判断|AB|²+4|OM|²是否为定值，并求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由离心率e=

1

2

=

c

a

，可设a=2c，b=

3

c，椭圆的标准方程化为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，因此可设椭圆上的一点P(2ccosθ，

3

csinθ)，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
与椭圆的方程联立化为（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．当直线AB的斜率不存在时也满足．由中线长定理可得|OA|²+|OB|²=

1

2

(|AB|2+4|OM|2)=7为定值．再利用基本不等式的性质（|OA|+|OB|）²≤2（|OA|²+|OB|²）即可得出．

解答： 解：（1）∵离心率e=

1

2

=

c

a

，
∴可设a=2c，b=

3

c，椭圆的标准方程化为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
设椭圆上的一点P(2ccosθ，

3

csinθ)，
则|PQ|=

(2ccosθ-1)2+( 3 csinθ)2

=

c2(cosθ- 2 c )2+3c2-3

，
当0＜c≤2时，当cosθ=-1时，|PQ|取得最大值2c+1，2c+1=3，解得c=1，满足条件．
当c＞2时，cosθ=

2

c

时，|PQ|取得最大值

3c2-3

，∴

3c2-3

=3，解得c=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1或

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△＞0，x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (3+4k2)2 - 4(4m2-12) 3+4k2 ]

=

4 (1+k2)(9+12k2-3m2)

3+4k2

．
原点O到直线AB的距离h=

|m|

1+k2

．
∵△ABO的面积为

3

，
∴

1

2

•

|m|

1+k2

•

4 (1+k2)(9+12k2-3m2)

3+4k2

=

3

．
化为2m²=3+4k²．
∵x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
∴4|OM|²=

4(16k2m2+9m2)

(3+4k2)2

．
∴|AB|²+4|OM|²=

16(1+k2)(9+12k2-3m2)

(3+4k2)2

+

4(16k2m2+9m2)

(3+4k2)2

=14为定值．
当直线AB的斜率不存在时也满足定值为14．
由中线长定理可得|OA|²+|OB|²=

1

2

(|AB|2+4|OM|2)=7为定值．
∴（|OA|+|OB|）²≤2（|OA|²+|OB|²）=14．
∴|OA|+|OB|的最大值为

14

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、两点之间的距离公式、中线长定理、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．