Question

14．如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱锥C-PAB的体积．

Answer 1

分析 （1）由圆的性质得AC⊥BC，由线面垂直得BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAC．
（2）由勾股和得BC=8，推导出平面PAB⊥平面ABC，从而点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，由此能求出三棱锥C-PAB的体积．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，
∴AC⊥BC，
∵P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）∵AC=6，PA=AB=10，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，
∴点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，
∵$\frac{1}{2}AB•d$=$\frac{1}{2}AC•BC$，
∴d=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
又S_△PAB=$\frac{1}{2}×PA×AB=\frac{1}{2}×10×10$=50，
∴三棱锥C-PAB的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAB}×d$=$\frac{1}{3}×50×\frac{24}{5}$=80．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．