Question

6．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，且该椭圆的短轴长为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l与椭圆交于M、N两点，求△F₁MN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，求得a和b的关系，由b=2$\sqrt{3}$，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可得，设直线方程，代入椭圆方程，求得M和N的纵坐标，根据三角形的面积公式，${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，设$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，则${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，根据函数的单调性即可求得△F₁MN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²=$\frac{4}{3}$b²，
由短轴长为2$\sqrt{3}$，得b²=3，a²=4，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设M、N点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
设直线l的方程为x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得y₁=$\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
依题意可知：${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
不妨设$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，于是${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
∵y=3t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上单调递增，
∴${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{12}{4}$=3，
当且仅当t=1即m=0时取到，
∴当m=0时，△F₁MN面积的取最大值，最大值为3．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式的应用及函数单调性，考查计算能力，属于中档题．