Question

3．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）的图象；
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得ω=2，φ=$\frac{π}{2}$，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；
（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=-$\frac{cos2x}{sinx}$$\stackrel{记为}{→}$m（x），可得m（x）=$\frac{-cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，m′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，令m′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，可得m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，（$\frac{π}{2}$，π）与（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，（$\frac{3π}{2}$，2π）上单调递增，分析可知a=±1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，从而存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
故f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，得φ=$\frac{π}{2}$，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-0.5π）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），
?a=-$\frac{cos2x}{sinx}$$\stackrel{记为}{→}$m（x），可得m（x）=$\frac{-cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，m′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，
令m′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，
∴m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，（$\frac{π}{2}$，π）与（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，（$\frac{3π}{2}$，2π）上单调递增，
当a＞1时，m（x）=a在（0，2π）有2解；
则a=1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，
∴存在a=1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了转化思想，属于中档题．