Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）过原点分别作函数f（x）与g（x）的切线，且两切线的斜率互为倒数，a∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；
（Ⅲ）求证：（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]与e的大小，并证明你的结论（其中n∈N^*，e是自然对数的底数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，建立条件关系即可得到结论；
（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明．

解答： （1）解：f′（x）=

1

x

-a（x＞0），
①当a≤0时，f'（x）＞0，增区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，增区间是（0，

1

a

），减区间是（

1

a

，+∞）；
（2）解：设g（x）的切点（x₁，y₁），f（x）的切点（x₂，y₂），
g′（x₁）=ex1=

y1

x1

，y₁=ex1，解得x₁=1，y₁=e，k=e，
f′（x₂）=

1

x2

-a=

1

e

=

y2

x2

，y₂=lnx₂-a（x₂-1），
∴

1

x2

-a=

lnx2-a(x2-1)

x2

，
∴lnx₂=1-a，∴x₂=e^1-a，代入

1

x2

-a=

1

e

，得e^a-ae-1=0，
令p（a）=e^a-ae-1，p'（a）=e^a-e，
p（a）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）上递增，
当a∈（-∞，1）时，
∵p（0）=0，∴a=0；
当a∈（1，+∞）时，p（1）=-1＜0，p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
综上a=0或1＜a＜2，即有n=0或1．
（Ⅲ）（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．
证明：令h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），则h′（x）=

1

x+1

-1＜0，
则h（x）在x＞0时为减函数，则h（x）＜h（0）=0，即有ln（1+x）＜x，
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）
则ln{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
则有（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．

点评：本题主要考查函数的单调区间的求解，以及导数的几何意义，考查导数的基本运算，考查不等式的证明要借助所给函数构造不等式，利用它进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题．