Question

若椭圆方程为

x2

12

+

y2

4

=1，设直线y=x+m，交椭圆于A、B，且|AB|=3

2

，若点P（x₀，2）满足|

PA

|=|

PB

|，求x₀．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式，可求出m的值，进而求出AB中点的坐标，结合|

PA

|=|

PB

|，可得PC与AB垂直，进而得到答案．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 12 + y2 4 =1 y=x+m

得：4x²+6mx+3m²-12=0
则△=36m²-16（3m²-12）＞0，
即m²-16＜0，即m∈（-4，4），
且x₁+x₂=-

3

2

m，x₁•x₂=

3m2-12

4

，
∵|AB|=3

2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

9 4 m2-3m2+12

=

2

•

- 3 4 m2+12

，
∴-

3

4

m2+12=9，
解得：m=±2，
则x₁+x₂=±3，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

1

2

m=±1，
即A，B中点C的坐标为（

3

2

，-

1

2

），或（-

3

2

，

1

2

），
则P点在过C点且斜率为-1的直线上，
即k_PC=

2+ 1 2

x0- 3 2

=-1，或k_PC=

2- 1 2

x0+ 3 2

=-1，
解得：x₀=-1，或x₀=-3．

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线垂直的充要条件，弦长公式，难度中档．