Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简函数的解析式为 2sin（2x+

π

6

），函数f（x）的最小正周期为T=π．由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据条件得 4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，所以当x=

π

8

时，g（x）min=-

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴单调递减区间是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）根据条件得μ=2sin（4x+

5π

6

），当x∈[0，

π

8

]时，4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，
所以当x=

π

8

时，g（x）min=-

3

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、值域，化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

），是解题的关键．