Question

求证：函数f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）为奇函数的充要条件是Φ=k•

π

2

，k∈Z．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可．

解答： 证明：必要性：若函数f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）为奇函数，则根据正切函数的对称中心可得φ=k•

π

2

，
充分性：若Φ=k•

π

2

，
当k是偶数，设k=2n，n∈Z时，f（x）=Atan（ωx+nπ）=Atanωx为奇函数，
当k是奇数，设k=2n+1，n∈Z时，f（x）=Atan（ωx+nπ+

π

2

）=Atan（ωx+

π

2

）=A

1

tanωx

为奇函数，
综上函数f（x）=Atan（ωx+φ），（A，ω≠0）为奇函数的充要条件是Φ=k•

π

2

，k∈Z．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据正切函数的图象和性质是解决本题的关键．