Question

已知角α，β∈（-

π

2

，

π

2

），且α，β，

π

2

依次成等差数列，若cosβ=

6

3

，则sinα•sinβ的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,等差数列的通项公式

专题：三角函数的求值

分析：由α，β，

π

2

依次成等差数列，结合α，β∈（-

π

2

，

π

2

），可知β为锐角，由cosβ=

6

3

求出sinβ，再利用α=2β-

π

2

，借助于诱导公式和二倍角的余弦公式求解sinα，则答案可求．

解答： 解：∵α，β，

π

2

依次成等差数列，∴α+

π

2

=2β，
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），∴β∈（0，

π

2

）．
由cosβ=

6

3

，sinβ=

1-cos2β

=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
α=2β-

π

2

，∴sinα=sin（2β-

π

2

）=-cos2β=1-2cos²β=1-2×（

6

3

）²=-

1

3

．
∴sinα•sinβ的值为-

1

3

×

3

3

=-

3

9

．
故答案为：-

3

9

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了同角三角函数的基本关系式与诱导公式，解答此题的关键在于分析出角β的范围，属中档题，也是易错题．