Question

已知函数f（x）=

1，x是有理数 0，x是无理数

，下列命题是真命题的是

 

（只填命题序号）．
①函数f（x）是偶函数；②对任意x∈R，f（x+

2

）=f（x）；
③对任意x∈R，f（x+2）=f（x）；
④对任意x，y∈R，f（x+y）=

1

2

（f（x）+f（x））；
⑤若存在x，y∈R，使得f（x+y）=f（x）+f（y），则x，y都为无理数．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由题意讨论x，y是有理数还是无理数，从而确定5个命题的真假．

解答： 解：∵当x是有理数时，-x也是有理数，
∴f（-x）=f（x）=1；
又∵当x是无理数时，-x也是无理数，
∴f（-x）=f（x）=0；
故函数f（x）是偶函数，故①正确；
取x=0，则f（0）=1，f（

2

）=0；故②不正确；
当x是有理数时，x+2也是有理数，
当x是无理数时，x+2也是无理数，
故对任意x∈R，f（x+2）=f（x）成立，故③正确；
取x=0，y=

2

，则f（x+y）=0，

1

2

（f（x）+f（x））=

1

2

，故④不正确；
若x，y都是有理数，则f（x+y）=1，f（x）+f（y）=2；
若x，y是有理数和无理数，则f（x+y）=0，f（x）+f（y）=1；
若x，y都为无理数，则f（x+y）=f（x）+f（y）或f（x+y）=1，f（x）+f（y）=0；
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查了学生对分段函数的掌握及命题的真假性的判断，属于中档题．