Question

函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意化求函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

的零点个数与sin2x在[-3，3]上的零点个数，从而求解．

解答： 解：令g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

，
g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²，
当x=0时，g′（0）=1＞0；
当x=-1时，g′（-1）=2013＞0；
当x≠0且x≠-1时，
g′（x）=

1-(-x)2013

1+x

=

1+x2013

1+x

＞0；
故g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

在R上是增函数，
又∵g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-

1

4

…-

1

2013

＜0；
g（0）=1＞0；
故g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

在（-1，0）上有零点，
而sin2x在[-3，3]上的零点为0，±

π

2

；
故函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

）•sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为4；
故选B．

点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，属于基础题．