Question

已知：sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，求cos²α+cos²β+cos²γ的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，两边平方相加可得：cos(α-β)=

1

2

，于是α=β+2kπ±

π

3

．（k∈Z）．当α=β+2kπ+

π

3

时，cosγ=cos(β+

π

3

)-cosβ=-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ，代入即可得出；同理当α=β+2kπ-

π

3

时，代入即可得出．

解答： 解：∵sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，
两边平方相加可得：2-2cos（α-β）=1，
∴cos(α-β)=

1

2

，
∴α=β+2kπ±

π

3

．（k∈Z）
当α=β+2kπ+

π

3

时，
∴cosγ=cos(β+

π

3

)-cosβ=-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=cos2(β+2kπ+

π

3

)+cos²β+(-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ)2
=(

1

2

cosβ-

3

2

sinβ)2+(

1

2

cosβ+

3

2

sinβ)2+cos²β
=

3

2

．
同理当α=β+2kπ-

π

3

时，cos²α+cos²β+cos²γ=

3

2

．

点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．